線性電路的分析方法_一階線性動(dòng)態(tài)電路的分析方法

摘 要： 本文針對(duì)一階動(dòng)態(tài)電路具有的特殊規(guī)律和特征，運(yùn)用四種方法介紹對(duì)一階動(dòng)態(tài)RC電路的求解，以區(qū)別于穩(wěn)態(tài)電路的求解方法。并對(duì)比各種解法，在不同類(lèi)型的動(dòng)態(tài)電路分析中進(jìn)行合理選擇，以期更方便地求解問(wèn)題。
關(guān)鍵詞： 一階線性 動(dòng)態(tài)電路 求解方法
一階線性動(dòng)態(tài)電路指的是電路中只含有一種儲(chǔ)能元件（電容或電感），當(dāng)電路的結(jié)構(gòu)或元件參數(shù)發(fā)生改變時(shí)，電路的工件狀態(tài)將由原來(lái)的穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變成另一個(gè)穩(wěn)態(tài)，這種轉(zhuǎn)變是需要一個(gè)過(guò)程的。一階線性動(dòng)態(tài)電路其動(dòng)態(tài)過(guò)程的數(shù)學(xué)模型是一階常系數(shù)微分方程。此類(lèi)電路以RC電容充放電電路、RL電感儲(chǔ)能和釋能電路最為常見(jiàn)，其動(dòng)態(tài)過(guò)程中的電流和電壓都是變化的。這與通常描述的直流電路和周期性交流電路中，電壓及電流恒穩(wěn)不變，或按周期性規(guī)律變動(dòng)的穩(wěn)態(tài)電路不同。在分析方法上也完全不同。下面以RC動(dòng)態(tài)電路為例，運(yùn)用四種方法求解動(dòng)態(tài)過(guò)程中的電流和電壓的變化規(guī)律。
如圖1，RC電路開(kāi)關(guān)S合上前電容已充過(guò)電，電容上的電壓U（0_）=U，求開(kāi)關(guān)合上后電路中的電流i和電壓u。
解法一：微分方程法
由i=C，得回路電壓方程
u+CR=U
得：u=U+Ae
由換路定律知：t=0時(shí)，u（0_）=u（0）=U代入上式確定常數(shù)A值
得：A=U-U
所以u(píng)=U+（U-U）e
i=C=e
可見(jiàn)當(dāng)開(kāi)關(guān)S閉合后，電容充電電容電壓由U逐漸增大為U，電路電流由按指數(shù)規(guī)律逐漸衰減為0。
解法二：三要素法
一階線性動(dòng)態(tài)電路的三要素公式為：
f（t）=f（∞）+［f（0）-f（∞）］e（t≥0）
其中三要素為：穩(wěn)態(tài)值f（∞）為t=∞時(shí)所求響應(yīng)的穩(wěn)定值
初始值f（0）為t=0時(shí)所求響應(yīng)的起始值
時(shí)間常數(shù)τ=CR
由此得：u=U+（U-U）e
i=0+-0e=e
解法三：拉氏變換法
由回路電壓方程u+CR=U?蘚（t）
其中?蘚（t）為階躍函數(shù)?蘚（t）=1（t≥0）?蘚（t）=0（t<0）
對(duì)此方程作拉氏變換得：U（S）+CR［SU（S）-U（0_）］=
得：U（S）=+=-+
由拉氏逆變換得：u=U-Ue+Ue=U+（U-U）e
i==e
解法四：R、C元件的復(fù)頻域模型法
i=C
運(yùn)用拉氏變換得：I（S）=CSU（S）-CU（0_）
得：U（S）=+
根據(jù)圖2所示的RC電路復(fù)頻域等效模型，由基爾霍夫定律的復(fù)頻域方程得：
++I（S）R=
得：I（S）=×=（U-U）
由拉氏逆變換得：i=e
u=U-i（t）R=U-（U-U）e=U+（U-U）e
文中用四種方法求解了一階線性動(dòng)態(tài)電路的響應(yīng)，對(duì)比此四種方法，對(duì)一階動(dòng)態(tài)電路，三要素法只需根據(jù)換路后的等效電路，確定出三要素后就能直接按表達(dá)式寫(xiě)出響應(yīng)。微分方程法要運(yùn)用初始條件求常數(shù)A，且求解過(guò)程也相對(duì)復(fù)雜些，但微分方程是依據(jù)回路的電壓方程列出的，物理意義很明確，是三要素法、拉氏變換法的基礎(chǔ)。在二階RLC動(dòng)態(tài)電路分析中，所列出的方程是二階微分方程，求解難度較大，此種情況下用拉氏變換把微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，運(yùn)用動(dòng)態(tài)電路復(fù)頻域分析法求解會(huì)較為方便。因此在分析動(dòng)態(tài)電路時(shí)，選擇合適的求解方法，會(huì)達(dá)到事半功倍的效果。
參考文獻(xiàn)：
［1］王慧玲.電路基礎(chǔ).高等教育出版社，2007：11.
［2］王翠萍.應(yīng)用數(shù)學(xué).中國(guó)紡織出版社，2009：4.

經(jīng)典法作為分析動(dòng)態(tài)電路的一種方法

經(jīng)典法作為分析動(dòng)態(tài)電路的一種方法如下：

經(jīng)典法是基于KCL、KVL和支路VCR建立的以時(shí)間為自變量的描述方程 ，利用經(jīng)典法可以求出電路中的所求變量(電壓或電流)。

n階微分方程電路的由來(lái)：

在一般情況下，當(dāng)電路中僅含有一個(gè)動(dòng)態(tài)元件，動(dòng)態(tài)元件以外的線性電阻電路可用戴維寧定理或者諾頓定理置換為電壓源和電阻的串聯(lián)組合，或電流源和電阻的并聯(lián)組合，對(duì)于這樣的電路。

所建立的電路方程將是一階線性常微分方程，相應(yīng)的電路稱(chēng)為一階電路。當(dāng)電路中含有兩個(gè)或n個(gè)動(dòng)態(tài)元件時(shí)，建立的方程為二階微分方程或n階微分方程。

過(guò)渡過(guò)程：

含有動(dòng)態(tài)元件的電路又稱(chēng)為電路，動(dòng)態(tài)電路的一個(gè)特征是當(dāng)電路的結(jié)構(gòu)或元件的參數(shù)發(fā)生變化時(shí)(例如電路中電源或無(wú)源元件的斷開(kāi)或接入，信號(hào)的突然注入等)，可能使電路改變?cè)瓉?lái)的工作狀態(tài)，轉(zhuǎn)變到另一個(gè)工作狀態(tài)，這種狀態(tài)往往需要經(jīng)歷一個(gè)過(guò)程，在工程上稱(chēng)為過(guò)渡過(guò)程。

換路時(shí)刻：

上述電路結(jié)構(gòu)或者參數(shù)變化引起的電路變化統(tǒng)稱(chēng)為“換路”，并認(rèn)為換路是在t=0時(shí)刻進(jìn)行的。為了敘述方便，把換路前的最終時(shí)刻記為t=0-，把換路后的最初時(shí)刻記為t=0+，換路經(jīng)歷的時(shí)間為0-到0+。

注意事項(xiàng)：

使用經(jīng)典法求解常微分方程時(shí)，必須根據(jù)電路的初始條件確定解答中的積分常數(shù)，設(shè)描述電路動(dòng)態(tài)過(guò)程中的微分方程為n階，所謂初始條件就是指電路中所求變量(電壓或電流)及其1階至(n-1)階導(dǎo)數(shù)在t=0+時(shí)的值，也稱(chēng)為初始值。電容電壓Uc(0+)和電感電流iL(0+)稱(chēng)為獨(dú)立的初始條件，其余的稱(chēng)為非獨(dú)立的初始條件。

動(dòng)態(tài)電路的動(dòng)態(tài)電路的分析

電路內(nèi)部含有儲(chǔ)能元件L、C，電路在環(huán)路（支路介入或斷開(kāi)、電路參數(shù)變化等）時(shí)能量發(fā)生變化，而能量的儲(chǔ)存和釋放都需要一定的時(shí)間來(lái)完成。
動(dòng)態(tài)電路的分析是指當(dāng)電路發(fā)生換路后,電路中電壓、電流隨時(shí)間變化的規(guī)律、動(dòng)態(tài)電路分析的方法,有經(jīng)典法和變換域分析法。
在一階RC電路中，動(dòng)態(tài)電路的方程：
Ri+uc=Us 得 Ri(duc/dt)+uc=Us
在一階RL電路中，動(dòng)態(tài)電路的方程：
Ri+uL=Us 得 Ri+L(di/dt)=Us
通俗的說(shuō),動(dòng)態(tài)電路就是含有動(dòng)態(tài)元件(LorC)的電路.動(dòng)態(tài)電路在任一時(shí)刻的響應(yīng)(response,由激勵(lì)產(chǎn)生的電流和電壓稱(chēng)為響應(yīng))與激勵(lì)(excitation,在電路中產(chǎn)生的電壓和電流的起因,叫激勵(lì))的全部過(guò)去歷史有關(guān),這是由動(dòng)態(tài)元件的性能所決定的.